Olasılık kuramı rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır.[1] Olasılık kuramının ana öğeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak, veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa, incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuc büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.
İstatistik bilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık kuramı, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlanabilmesi için temel esasları oluşturur. Bunun yaninda, olasılık kuramının yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir; (örneğin istatistiksel mekanik). Yirminci yüzyılda fizik biliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunların kuantum mekanik bilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.
Olasılık kuramına girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.
Ayrık olasılık kuramı sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örnegin: Zar atılması, küp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgale yürüyüş olayları.
Klasik tanım: Olasılık kuramı geliştirilmesinin ilk safhalarında, belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelendiği kabul edilmiş ve incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örnegin, incelenecek sorun \"tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir\" şeklinde sorulursun. Zar yansiz olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu icin, aranan olasılık
P( 2 veya 4 veya 6 ) = \\tfrac{3}{6}=\\tfrac{1}{2}
olarak bulunur.
Modern tanım: Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir set ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir: \\Omega=\\left \\{ x_1,x_2,\\dots\\right \\}. Sonra, x \\in \\Omega\\, içinde bulunan her matematik elemana bir olasılık değeri f(x)\\, bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinin şu özellikler bulunduğu kabul edilir:
f(x)\\in[0,1]\\mbox{ butun }x\\in \\Omega\\,;
\\sum_{x\\in \\Omega} f(x) = 1\\,.
Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam (1\'e) eşit olur. Bir olay \\Omega\\, örneklem uzayının herhangi bir E\\, altseti olarak tanımlanır. E\\, olayının \'olasılık değeri ise şöyle tanımlanır:
P(E)=\\sum_{x\\in E} f(x)\\,.
Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur.
Örneklem uzayındaki bir noktayı \"olasılık\" değerine eşleyen fonksiyona, yani f(x)\\, fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.
Sürekli olasılık dağılımları[değiştir | kaynağı değiştir]
Ana madde: Sürekli olasılık dağılımları
Sürekli olasılık kuramı sürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.
Klasik tanım: Sürekli olasılık halleri ile karşılaşınca klasik tanım geçerli olmaz. Bernard\'in paradoksu maddesine bakin.
Modern tanım: Eğer örneklem uzayı reel sayılardan oluşursa (yani \\mathbb{R}), yığmalı dağılım fonksiyonu adı verilen bir fonsksiyonun var olduğu kabul edilir; bu bir rassal değişken olan X için P(X\\le x) = F(x)\\,</math> ifadesini gösterir yani P(X\\le x) = F(x)\\,</math> rassal değişkenin X x sayı değerine eşit veya xden daha düşük olması halindeki olasılığı gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu şu özellikleri göstermelidir:
F\\, monotonik azalma göstermeyen, sağda-sürekli bir fonksiyondur;
\\lim_{x\\rightarrow -\\infty} F(x)=0\\,;
\\lim_{x\\rightarrow \\infty} F(x)=1\\,.
Eğer F\\, fonksiyonun türevi alınabilirse, rassal değişken X için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x)=\\frac{dF(x)}{dx}\\,.
bulunur.
E \\subseteq \\mathbb{R} seti için, rassal değişken Xin E\\, seti içinde bulunma olasılığı şöyle tanımlanır:
P(X\\in E) = \\int_{x\\in E} dF(x)\\,.
Eğer bir olasılık yoğunluk fonksiyonu var ise, bu şöyle ifade edilebilir:
P(X\\in E) = \\int_{x\\in E} f(x)\\,dx\\,.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece sürekli rassal değişkenler için var olmakta ise de, yığmalı dağılım fonksiyonu \\mathbb{R}\\,. içinde değerleri olan (aralıklı rassal değişkenler dahil) tüm rassal değişken için mevcut bulunmaktadır.
Bu kavramlar \\mathbb{R}^n ve diğer sürekli örneklem uzayları için çoklu boyutlu hallere de genelleştirilmiştir.
Ölçüm kuramsal olasılık kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]
Modern olasılık kuramı yaklaşımı ölçüm kuramı kullanılması suretiyle yapılmakta ve bu kuram olasılık uzayında Kolmogorov aksiyomlarına dayandırılmaktadır. Olasılık uzayı üç kısımdan oluşmustur. Olasılığın bu ölçüm kuramına göre uygulanmasının esas nedeni bu kuramın ayrık ve sürekli değişkenleri birlikte ele alabilmesinden ve aralarindaki farkları kullanılan ölçü ile açıklamasındandır. Bundan başka saf ayrık veya saf sürekli dağılımlar yanında bu iki kategoriye tam uymayan dağılımları da inceleme imkânı sağlamaktadır.
Herhangi bir set \\Omega verilsin ve bu örneklem uzayı olarak da anılmaktadır. Bu set üzerinde bir sigma-cebiri ile \\mathcal{F}\\, bulunsun; bir ölçüm Pnin bir olasılık ölçümü olarak adlandırması ancak ve ancak şu koşullar altında mümkün olur:
P\\, non-negatifdir;
P(\\Omega)=1\\,.
Eğer \\mathcal{F}\\, bir Borel σ-cebiri ise o halde herhangi bir yığmalı dağılım fonksiyonu \\mathcal{F}\\, üzerinde tek ve tek bir olasılık olcumu bulunur ve bunun aksi önerim de doğrudur. Bu ölçüm ayrık değişkenler için olasılık kütle fonksiyonu ve sürekli değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çakışmaktadır ve böylece ölçüm kuramına bağlı yaklaşım yanıltıcı mantıktan uzaklaştırmaktadır.
σ-cebiri \\mathcal{F}\\, içinde E\\, seti için olasılık şöyle tanımlanır:
P(X\\in E) = \\int_{x\\in E} dF(x)\\,.
Burada entegrasyon F\\, tarafından ortaya çıkartılan ölçüye göredir.
![Uzay Çalışmalarının Önemi - Süleyman Fişek [Röportaj]](https://fizikist.com/uploads/img/uzay-calismalarinin-onemi.jpg "Uzay Çalışmalarının Önemi - Süleyman Fişek [Röportaj]")