175 Yıl, İki Yanlış Varsayım ve Bilgi İşlemin Doğuşundan Sonra Bu Teoremin Sonunda Bir Kanıtı Var

Matematikçilerin sevdiği bir şey varsa o da şaşırmaktır. Güzel görünen ve umutsuz vaka olduğu düşünülen bir problemi bağlayan bir şey şeklinde gelirse de bonus puan.

Bu nedenle, Alexander Dunn ve Maksym Radziwill için Patterson'ın Varsayımının bir kanıtını nihayet yükleyebildikleri günün, geçen yıl 15 Eylül,  güzel bir gün olduğunu hayal edebilirsiniz - 19. yüzyıla kadar uzanan bir probleme 45 yıllık önerilen bir çözüm.

Dunn, Quanta Magazine'e “Üzerinde çalışmak heyecan vericiydi, ancak son derece yüksek riskliydi.” dedi. "Dört ya da beş ay boyunca her sabah saat 5 gibi ofisime geldiğimi hatırlıyorum."

Ne tür bir problem böyle bir bağlılığa değer olabilir? İki kelime: Gauss toplamı.

Tarihteki en üretken matematikçilerden biri olan ve ilk olarak 18. yüzyılda toplamlarla oynamaya başlayan Carl Friedrich Gauss'un adını taşıyan bu niceliklere aşinaysanız, muhtemelen bunların her yerde bulunduğu sayı teorisi konusunda biraz geçmişe sahipsinizdir. 

Basitçe söylemek gerekirse, ya da üniversite düzeyinde matematikte olduğu kadar basit, bunlar birimin köklerinin toplamıdır: Diyelim ki küp olan tüm sayıları alırsınız ve hepsini toplarsınız. İkinci dereceden formlarında, şöyle görünürler:

Buraya kadar her şey yolunda ancak asıl sorun bir seviye yukarı çıktığınızda başlıyor – ikinci dereceden kübik seviyeye. Bu bir bakıma küçük bir değişiklik: tek yaptığımız yukarıdaki toplamda n²'yi n³ ile değiştirmek. Ancak etki oldukça büyük – bu yüzden problemin çözülmesi için Ernst Eduard Kummer'in onları incelemeye ilk başlamasının üzerinden 175 yıl geçti.

 

Kummer'in Varsayımı

Bu, Kummer'in ilerleme kaydetmediği anlamına gelmez. Yaklaşık bir yüzyıl boyunca, 1846 varsayımı, kübik Gauss toplamlarından elde edilen değerlerin sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldığı sorusuna dünyanın en yakın cevabıydı. Ve bu zekice matematiksel tuhaf bir cevaptı da: bir p asal sayısı için, bu kübik Gauss toplamlarının sonuçlarının, yarısı √p ile 2√p arasında, üçte biri −√p ile √p  arasında ve son altıncı -2√p ile −√p arasında olacak şekilde çok özel bir şekilde bölünebileceğini varsaydı.

Basit olmayan ilk 45 asal sayıya karşılık gelen kübik Gauss toplamlarını elle hızla işledi ve varsayım iyi görünüyordu. Ancak kanıtlayamadı - kimse kanıtlayamazdı. Hatta, matematikçilerin onu tekrar ele almayı düşünmeleri, bilgisayar çağının şafağıyla birlikte 1950'lerin başına kadar zaman aldı.

Sonunda ele aldıklarında, beklenmedik bir şey buldular. Kummer tamamen yanılmıştı.

John Von Neumann ve Herman Goldstine, Kummer's Conjecture üzerine 1953 tarihli makalelerinde, “Hesaplama, yukarıda belirtilen kontrolleri sayarak yaklaşık 15 milyon çarpma içeriyordu. p değerleri 200'lük bloklar halinde sunuldu. Güvenilirliği sağlamak için tüm hesaplama iki kez yapıldı.” yazdılar.

Problemi, oynamalarına izin verilen yeni bir oyuncağı test etmenin iyi bir yolu olarak seçmişlerdi: 1945'te yapılan ENIAC adlı ilk programlanabilir, elektronik, genel amaçlı dijital bilgisayar - Kummer'i doğrulamak sadece bir bonustu. Bu dijital beynin yardımıyla, fizikçi ve programcı Hedvig Selberg ile birlikte, Kummer'in 45 toplamını biraz iyileştirmeyi başardılar ve 10.000'den daha az asal sayının sonuçlarını hesapladılar.

Ve sayı arttıkça desen kayboldu. Von Neumann ve Goldstine, "Sonuçlar, varsayılan yoğunluklardan önemli bir sapma ve rastgeleliğe doğru bir eğilim gösteriyor gibi görünüyor." diye yazdı.

 

Patterson'ın Varsayımı

Ancak bin kadar örnek bir kanıt oluşturmaz ve Kummer'in Varsayımının kesin olarak yanlışlanması için bir on beş yıl daha alır. Sorumlu iki matematikçi - sayı teorisyeni Samuel Patterson ve onun yüksek lisans öğrencisi Roger Heath-Brown - kübik Gauss toplamlarının gerçekten de sayı doğrusu boyunca eşit olarak dağıtıldığını göstermiştir. Bir nevi.

Peki bu ne anlama geliyor? Patterson önceden probleme öncekilerden biraz farklı yaklaşmıştı: Kübik Gauss toplamlarının değerlerini toplarsanız ne olacağını görmeye karar verdi. Bir dizi X Gauss toplamının, yaklaşık X^5/6'ya eşit olduğunu buldu - yani, X'in karekökünden daha fazla, ancak X'in kendisinden daha az.

Bu ona önemli bir şey gösterdi. Daha önceki matematikçiler tarafından, bir dizi gerçekten rastgele sonucun yaklaşık ±√X'e eşit olacağı zaten gösterilmişti. Yani toplam X^5/6 bulmak, toplamların temelde rastgele olduğu, ancak küçük bir ekstra faktörle, pozitif olma olasılığının negatiften biraz daha fazla olması anlamına geliyordu.

Olan şey buysa, her şeyi açıklardı - Kummer'in sonuçlarının neden bu kadar rastgele görünmediğini ve rastgeleliğin hesaplanan asal sayısıyla neden arttığını. Bu bir asimptot sorunudur: daha küçük ölçeklerde, bu ekstra faktör, sonuçları fark edilir bir şekilde etkilemek için yeterince güçlüdür, ancak X büyüdükçe, diğer her şeyi alt eder ve tek gördüğünüz rastgeleliktir.

Tek bir sorun vardı: Bunu kanıtlayamadı. Patterson'ın Varsayımı, X^5/6 sonucunun bilinmesiyle, Kummer'in Varsayımının yerini aldı - ancak asıl soru hala açıktı.

Ancak sayı teorisyenleri belki de benzersiz bir şekilde kararlı ve Heath-Brown yirmi yıldan fazla bir süredir problem üzerinde çalışmaya devam etti. 2000 yılında, yeni bir eleme yöntemini - matematikçilerin eleme süreci boyunca çalışan algoritmaları tanımlamak için kullandıkları bir terim - açıklayan bir makale yayınladı ve sonunda Patterson'ın Varsayımını kanıtlamak için kullanılabileceğine inandı.

Hatta elemeyi geliştirmek için olası bir yöntemin taslağını bile çizdi – daha keskin, daha kesin hale getirmek için. 150 yıllık problemi nihayet çözecek kadar iyi, ya da o öyle tahmin etti. Ama yine de kimse bunun nasıl yapılacağını çözemedi - ve şimdi nedenini biliyoruz.

 

Patterson'ın Varsayımını Kanıtlamak

Radziwill, Quanta'ya “Çok, çok karmaşık bir çalışmanın ardından 1 = 2 olduğunu kanıtlayabildik.” dedi. “Temelde kanıtımızda bir hata olduğuna az çok ikna olmuştum.”

Yine de hiçbir hata yapmamışlardı: Heath-Brown’un, kendisinden önceki Kummer gibi, haksız olduğu kanıtlanmıştı. Onun "geliştirilmiş" elemesinin alakası yoktu - ve eğer Radziwill ve Dunn, Patterson'ın varsayımını çözeceklerse, orijinal kübik büyük elemeye geri dönmeleri gerekecekti.

Radziwill, Quanta'ya "Kimsenin [Patterson'ın Varsayımını çözememesinin] ana nedeninin bu olduğunu düşünüyorum, çünkü bu [Heath-Brown] varsayımı herkesi yanılttı." dedi. "Sanırım Heath-Brown'a varsayımının yanlış olduğunu söylersem, muhtemelen bunu nasıl yapacağını çözecektir."

Radziwiłł ve Dunn, önceki girişimlerin nerede yanıldığını bilerek tarih yazdılar: makaleleri, iki yüzyılın büyük kısmında sayı teorisyenlerini rahatsız eden bir problemi sonunda bitirdi. Ve tamamen, hiçbir şüpheye yer bırakmayacak şekilde kanıtlanmadan önce çözülmesi gereken ufacık bir sorun kaldı.

İkili, makalelerinde "İspatımızdaki önemli bir bileşen, kübik Gauss toplamları için bir dağılım tahminidir." yazdı. "Bu tahmin, Genelleştirilmiş Riemann Hipotezine dayanmaktadır ve sonucumuzun koşullu olmasının temel nedenlerinden biridir."

Yani şimdi ihtiyacımız olan tek şey Riemann Hipotezinin bir kanıtı ve her şey halloldu. Çocuk oyuncağı, değil mi?

Bu içerik IFLSCIENCE’da yayınlanmıştır.