Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar ve Cauchy Scwarz-Bunkowski Eşitsizliği

Günlük hayatta kullandığımız çoğu araç-gerecin, teknik yöntemin, doğa olaylarının ve oyunların altında temel bilimlerin gözdesi matematik ilmi yatmaktadır.

Matematikte, eşitlikler veya denklikler kadar eşitsizlikler de ilgi çekicidir. Bu yazımızla beraber bir eşitsizlik serüvenine yelken açacağız. İlkin temeli sağlam atacak, sonrasında da ileri seviye eşitsizlikleri inceleyeceğiz.

Matematikte analiz ve geometri çatısı altına giren eşitsizlikler, matematik olimpiyatlarında da gerek ikinci aşama gerek takım seçme sınavlarında sıklıkla sorulan bir soru türüdür. Bu yazının konusu Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar ve Cauchy Schwarz-Bunkowski Eşitsizliği'dir.

Öncelikle, bu yazımızda kullandığımız terimlerin negatif olmayan reel sayılar olduğunu unutmayalım. Aksi takdirde örneğin Cauchy Schwarz'da eşitsizliğin yönü ters çevrilebiliyor.

Aritmetik-Geometrik-Harmonik Ortalamalar:

Aritmetik Ortalama(A.O.): İstatistik, Veri Bilimi ve Ekonomi ile uğraşanların çokça Kullandığı aritmetik ortalama, terim toplamının terim sayısına bölümüdür.  

                         

Geometrik Ortalama(G.O.): Geometrik ortalama, terim sayısı kökü içerisinde terimlerin çarpımıdır.      

   

Harmonik Ortalama(H.O.): Harmonik ortalama; terim sayısının, terimlerin her birinin çarpmaya göre terlerinin toplamına bölümüdür.

Bu ortalamalar arasındaki ilişki şöyledir:                                                  A.O.≥G.O.≥H.O.

Bu eşitsizlikler arasında en çok kullanılanı şüphesiz Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'dir. (Diğer adıyla A.G.O.)

 

Cauchy Schwarz-Bunkowski Eşitsizliği:

Fransız matematikçi Augistin Louis Cauchy tarafından 1821 yılında ortaya konmuş, daha sonrasında Bunkowski tarafından genelleştirilmiştir.

Tüm reel sayılarda kullanılan hali budur ve pozitif reel sayılarda mutlak değerin kalkacağı aşikardır. Cauchy Schwarz Eşitsizliği basitçe; bir ifadenin karesinin, ifadenin terimlerinin katsayılarının karelerinin ayrı ayrı iki parantezde toplanıp çarpılmasından küçüktür.

Ayrıca, Cauchy Schwarz, matematik olimpiyatı eşitsizliklerindeki çok sayıda lemmayı kanıtlar. Aritmetik-Geometrik Ortalamaya göre daha pekişmesi zor bir eşitsizlik olduğundan, ilgilenenler için sayın Lokman Gökçe'nin Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ile alakalı hazırladığı, sorulardan oluşan dokümanın linki buradadır.(https://geomania.org/forum/index.php?topic=2001.0)