80 Yıllık Bir Probleme Yapay Zekadan Gelen Matematikçileri Şaşırttı

Düzlemsel birim uzaklık problemi ya da Erdős problemi 90, onlarca yıldır matematikçilerin ilgisini çekiyordu.

Bu yeni sonuç yalnızca ilginç bir ayrıntı değil. Kanadalı matematikçi Daniel Litt bunu “kendi başına ilginç bulduğum, tamamen otonom şekilde bir yapay zekâ tarafından üretilmiş ilk sonuç” olarak tanımladı.

Matematik için özel olarak tasarlanmış bir sistem yerine genel amaçlı bir yapay zekâ modeli tarafından elde edilen bu başarı, aynı zamanda yapay zekânın matematiksel araştırmaları nasıl değiştirdiğini de gözler önüne seriyor.

OpenAI’ın makalesinden birkaç gün sonra, Amerikalı matematikçi Will Sawin aynı düşünce çizgisini takip ederek daha da geliştirilmiş bir sonuç elde etti. Yine geçen hafta, Google DeepMind ekibi kendi modellerinden birini kullanarak Erdős’ün geride bıraktığı daha küçük çaplı dokuz açık problemi çözdü.

Aynı zamanda bu tür sonuçlar, günümüz yapay zekâ modellerinin matematiğin hangi alanlarında güçlü olduğunu ve yeteneklerinin hâlâ hangi noktalarda belirsiz kaldığını da gösteriyor.

 

Noktalar ve çizgiler

Paul Erdős, yirminci yüzyılın en üretken matematikçilerinden biriydi. Çözümleri onlarca yıl boyunca direnç gösteren, görünüşte basit sorular sormasıyla ünlüydü.

İlk bakışta, temel problem oldukça basit görünüyor.

Sonsuz büyüklükte bir kâğıt üzerinde belirli sayıda nokta olduğunu düşünün — bu sayı n olsun. Noktaları istediğiniz şekilde yerleştirebildiğinize göre, kaç tane nokta çifti tam olarak bir birim uzaklıkta konumlandırılabilir?

Eğer bu problemi kendiniz denerseniz (muhtemelen sonlu büyüklükte bir kâğıtta), kısa sürede kare bir ızgara düzeninin umut verici bir aday olduğunu düşünebilirsiniz. Izgaranın düzenli aralıkları, doğal olarak birbirinden aynı uzaklıkta birçok nokta çifti oluşturur.

Bu sezgi, problem hakkındaki ilk düşüncelerin çoğunu etkiledi. Nokta sayısı arttıkça, ızgara benzeri düzenlemeler hâlâ oldukça etkili görünüyordu.

On yıllar boyunca, bu son derece düzenli yapıların ulaşılabilecek en iyi düzenlemeler olduğu düşünülüyordu.

Erdős’ün kendisi de, nokta sayısı aşırı büyüse bile hiçbir düzenlemenin bu sezgisel yapılardan kayda değer ölçüde daha iyi olamayacağını varsaymıştı.

(Yeni en iyi sonuç olan Sawin’in sonucu, bildirildiğine göre ancak yaklaşık 10^2000000 nokta civarında iyileşme sağlıyor — yani 1 rakamının ardından iki milyon sıfır gelen bir sayı.)

Son 80 yıl boyunca matematikçiler Erdős’ün haklı mı yoksa haksız mı olduğunu kanıtlamaya çalıştı. Bu çabalar, problemi olay geometrisi (incidence geometry), grafik teorisi ve aşırı kombinatorik gibi matematik alanlarıyla ilişkilendirdi.

Tam bir ispat hâlâ elde edilememiş olsa da, genel kanı Erdős’ün varsayımının muhtemelen doğru olduğu yönündeydi.

Ancak OpenAI’ın son başarısı, Erdős’ün sezgisinin yanlış olduğunu gösterdi. Yeni sonuç, cebirsel sayı teorisi adı verilen bir matematik alanının araçlarını kullanarak, sonsuz sayıda n değeri için kare ızgaradan çok daha fazla birim uzaklıklı nokta çifti içeren düzenlerin var olduğunu ortaya koyuyor.

 

Tereddütsüz

OpenAI’ın yeni makaleyle birlikte yayımladığı yazıda, birçok önde gelen matematikçi sonuç hakkında görüş bildirdi.

Timothy Gowers, eğer insan bir araştırmacı bu sonucu içeren makaleyi saygın matematik dergisi Annals of Mathematics’e göndermiş olsaydı, “hiç tereddüt etmeden” yayımlanmasını tavsiye edeceğini yazdı.

Ayrıca, daha önce hiçbir yapay zekâ tarafından üretilmiş ispatın bu seviyede bir sofistikasyona yaklaşamadığını da ekledi.

Bu başarı aynı zamanda, başlangıçtaki istem (prompt) dışında minimum insan müdahalesiyle yapay zekâ yardımıyla çözülen ilk büyük matematiksel açık problem olma özelliğini taşıyor. Makalede modele verilen istem ve modelin yürüttüğü “düşünce zinciri” de ayrıntılı şekilde gösteriliyor.

Bu durum, yapay zekânın matematiksel araştırmalara yardım etme ve doğrudan araştırma yapabilme kapasitesine dair daha geniş soruları yeniden gündeme taşıdı.

 

Matematiksel araştırmanın üç anahtarı

Araştırmacı matematikçiler uzun zamandır bilgisayarları kullanıyor, ancak çalışmaları nadiren yalnızca hesaplamalara dayanıyor.

Büyük matematiksel atılımların çoğu genellikle üç unsurun hassas birleşiminden doğuyor: yıllar boyunca geliştirilen uzmanlık, bu uzmanlığı yaratıcı biçimde uygulayarak fikirleri keşfetmek için sürdürülen yoğun çaba (bunların çoğu çıkmaza dönüşse bile) ve bazen bir problemin anlaşılma biçimini aniden yeniden şekillendiren kavramsal sıçramalar.

İlk ikisi, yapay zekâ modellerinin güçlü olduğu alanlar: Gowers’ın belirttiği gibi, ChatGPT gibi büyük dil modelleri “ansiklopedik düzeyde matematik bilgisine” sahip.

Üstelik, insan zaman sınırlamalarına bağlı olmadan, sonuca ulaşma ihtimali düşük olsa bile çok sayıda spekülatif araştırma yolunu takip edebiliyorlar.

Buradaki başarının anahtarı da muhtemelen buydu. Geriye dönüp bakıldığında, küçük sayıda ipucu verilen bir uzmanın aynı ispata ulaşmasının oldukça muhtemel olduğu görülüyor.

Gowers’ın belirttiği gibi:

“İspat için gerekli fikirlerin çoğu zaten literatürde mevcuttu ve bu tür fikirler için ya hiçbir ipucuna gerek yoktur, çünkü uzman ilgili çalışmayı zaten biliyordur, ya da oldukça genel bir ‘gidip bak’ ipucu yeterli olur.”

 

Aydınlanma anları

Asıl zor soru ise, yapay zekânın gerçek kavramsal sıçramalara ne ölçüde katkı sağlayabileceği.

Bir problemin tamamen yeni bir bakış açısıyla anlaşılmasını sağlayan bu ani içgörü anları, genellikle matematiğin en insani yönü olarak görülüyor.

Bu sıçramaları formülleştirmek zor, öngörmek ise daha da zor. Son dönemdeki gelişmelere rağmen yapay zekâ modellerinin bunları gerçekten taklit edip edemeyeceği hâlâ belirsiz.

Ancak kesin olan bir şey var: Yapay zekâ modelleri, matematiğin keşfedilme biçiminde sarsıcı bir dönüşüm yaratıyor.

Yüzyıllar boyunca matematikteki ilerleme neredeyse tamamen insan yaratıcılığına ve azmine bağlıydı.

Şimdi ise araştırmacılar, ilk kez, devasa fikir alanlarını otonom biçimde keşfedebilen ve bir zamanlar yalnızca insan sezgisine erişilebilir olduğu düşünülen problemlere katkı sunabilen sistemlerle birlikte çalışıyor.

Melissa Lee, Monash Üniversitesi Matematik Bölümü Kıdemli Öğretim Görevlisi.