Düğüm Sanatı Evrenimizin Tuhaf Şeklini Hayal Etmemize Yardımcı Olabilir

Muhtemelen bu yüzden geçmişte bazı insanlar Dünya'nın düz olduğuna inanıyordu. Ancak artık çoğu insan bunun gerçekle uzaktan yakından ilgisi olmadığını biliyor.

Dev bir kürenin yüzeyinde yaşıyorsunuz, tıpkı birkaç tümsek eklenmiş Dünya büyüklüğünde bir plaj topu gibi. Kürenin yüzeyi ve düzlem iki olası 2 boyutlu uzaydır, yani iki yönde yürüyebilirsiniz: kuzey ve güney veya doğu ve batı.

Başka hangi olası uzaylarda yaşıyor olabilirsiniz? Yani, etrafınızdaki diğer hangi alanlar 2B'dir? Örneğin, dev bir çöreğin yüzeyi başka bir 2 boyutlu uzaydır.

Geometrik topoloji adı verilen bir alan aracılığıyla benim gibi matematikçiler tüm boyutlardaki olası tüm uzayları inceliyor. İster güvenli sensör ağları tasarlamaya, ister veri madenciliği yapmaya ya da uyduları yerleştirmek için origami kullanmaya çalışın, temel dil ve fikirlerin muhtemelen topolojinin dili olacaktır.

 

Evrenin şekli

İçinde yaşadığınız Evren'e baktığınızda, tıpkı Dünya'nın yüzeyinin 2 boyutlu bir alan gibi görünmesi gibi, 3 boyutlu bir alan gibi görünür. Bununla birlikte, tıpkı Dünya gibi, Evren'e bir bütün olarak bakacak olursanız, daha karmaşık bir uzay olabilir, 2B plaj topu yüzeyinin dev bir 3B versiyonu veya bundan daha egzotik bir şey gibi.

Dev bir plaj topu gibi bir şeyin üzerinde yaşadığınızı belirlemek için topolojiye ihtiyacınız olmasa da, tüm olası 2D uzayları bilmek faydalı olabilir. Bir asırdan fazla bir süre önce, matematikçiler tüm olası 2B uzayları ve bunların birçok özelliğini bulmuşlardır.

Geçtiğimiz birkaç on yıl içinde matematikçiler tüm olası 3B uzaylar hakkında çok şey öğrendiler. Her ne kadar 2D uzaylar için yaptığımız gibi tam bir anlayışa sahip olmasak da, çok şey biliyoruz. Bu bilgi sayesinde fizikçiler ve astronomlar insanların gerçekte hangi 3 boyutlu uzayda yaşadıklarını belirlemeye çalışabilirler.

Cevap tam olarak bilinmese de, birçok ilgi çekici ve şaşırtıcı olasılık var. Zamanı bir boyut olarak düşünürseniz seçenekler daha da karmaşık hale gelir.

Bunun nasıl işleyebileceğini görmek için, uzaydaki bir şeyin - örneğin bir kuyruklu yıldızın - konumunu tanımlamak için dört sayıya ihtiyacınız olduğunu unutmayın: konumunu tanımlamak için üç ve o konumda olduğu zamanı tanımlamak için bir. Bu dört sayı 4 boyutlu bir uzayı oluşturur.

Şimdi, hangi 4 boyutlu uzayların mümkün olduğunu ve bu uzaylardan hangisinde yaşadığınızı düşünebilirsiniz.

 

Daha yüksek boyutlarda topoloji

Bu noktada, dörtten daha büyük boyutlara sahip uzayları düşünmek için bir neden yokmuş gibi görünebilir, çünkü bu, Evrenimizi tanımlayabilecek hayal edilebilecek en yüksek boyuttur. Ancak sicim teorisi adı verilen bir fizik dalı, Evren'in dörtten çok daha fazla boyuta sahip olduğunu öne sürmektedir.

Robot hareket planlaması gibi daha yüksek boyutlu uzaylar hakkında düşünmenin pratik uygulamaları da vardır.

Bir depodaki fabrika zemininde hareket eden üç robotun hareketini anlamaya çalıştığınızı varsayalım. Zemine bir ızgara koyabilir ve her bir robotun konumunu ızgara üzerindeki x ve y koordinatlarıyla tanımlayabilirsiniz.

Üç robotun her biri iki koordinat gerektirdiğinden, robotların tüm olası konumlarını tanımlamak için altı sayıya ihtiyacınız olacaktır. Robotların olası konumlarını 6 boyutlu bir uzay olarak yorumlayabilirsiniz.

Robot sayısı arttıkça uzayın boyutu da artar. Engellerin konumları gibi diğer faydalı bilgilerin de hesaba katılması uzayı daha da karmaşık hale getirir. Bu problemi incelemek için yüksek boyutlu uzayları incelemeniz gerekir.

Gezegenlerin ve uzay araçlarının hareketlerinin modellenmesinden büyük veri kümelerinin “şeklini” anlamaya çalışmaya kadar, yüksek boyutlu uzayların ortaya çıktığı sayısız başka bilimsel problem vardır.

 

Düğümlere bağlı

Topolojistlerin üzerinde çalıştığı bir başka problem türü de bir uzayın diğerinin içinde nasıl yer alabileceğidir.

Örneğin, elinizde düğümlenmiş bir ip halkası tutuyorsanız, 3 boyutlu bir uzayın (odanız) içinde 1 boyutlu bir uzaya (ip halkası) sahibiz demektir. Bu tür ilmeklere matematiksel düğümler denir.

Düğümlerin incelenmesi ilk olarak fizikte ortaya çıkmıştır ancak topolojinin merkezi bir alanı haline gelmiştir. Bilim insanlarının 3D ve 4D uzayları anlamaları için çok önemlidirler ve araştırmacıların hala anlamaya çalıştıkları hoş ve ince bir yapıya sahiptirler.

Ayrıca düğümlerin fizikteki sicim teorisinden biyolojideki DNA rekombinasyonuna ve kimyadaki kiraliteye kadar pek çok uygulaması vardır.

 

Nasıl bir şeklin üzerinde yaşıyorsunuz?

Geometrik topoloji güzel ve karmaşık bir konudur ve uzaylar hakkında hala cevaplanması gereken sayısız heyecan verici soru vardır.

Örneğin, pürüzsüz 4D Poincaré varsayımı “en basit” kapalı 4D uzayın ne olduğunu sorar ve dilim-şerit varsayımı 3D uzaylardaki düğümlerin 4D uzaylardaki yüzeylerle nasıl ilişkili olduğunu anlamayı amaçlar.

Topoloji şu anda bilim ve mühendislikte yararlı olmaktadır. Tüm boyutlardaki uzayların daha fazla gizemini çözmek, içinde yaşadığımız dünyayı anlamak ve gerçek dünya sorunlarını çözmek için çok değerli olacaktır.

John Etnyre, Matematik Profesörü, Georgia Teknoloji Enstitüsü

Bu yazı SCIENCEALERT’ de yayınlanmıştır.