Kuantum Hilbert Oteli

1924'te matematikçi David Hilbert, hepsi dolu sonsuz sayıda odaya sahip bir otel tanımladı. Sonsuzluğun mantıksız doğasını göstererek, otelin hala ek misafirleri ağırlayabileceğini gösterdi. Açıkça böyle bir tuğla ve harç oteli olmamasına rağmen, Physical Review Letters'da yayınlanan yeni bir makalede, fizikçiler Václav Potoček ve diğerleri, bir ışık demeti kullanarak fiziksel olarak bir kuantum Hilbert oteli gerçekleştirdiler.

Bu paradoksta, hayal ettiğimiz bir otelde sonsuz sayıda odanın olduğunu ve tüm odaların dolu olduğunu varsayalım. Öncelikle, bu oteldeki misafirlerin sayısının sayılabilir sonsuz olduğunu düşünelim. Yani her bir misafir için bir doğal sayı kullanarak odaları numaralandırabiliriz: 1, 2, 3, 4 ve böyle devam eder. Bu durumda, otelde her odada bir misafir olduğunu gözlemliyoruz. Yeni bir misafirin geldiğini düşünelim. Ancak bu misafiri, otelde hiçbir boş oda olmadığı için yerleştiremeyiz gibi görünüyor. Ancak burada kuantum mekaniği devreye giriyor.

Kuantum mekaniği, bir sistemin aynı anda birden fazla durumda (süperpozisyon*) olabileceğini söyler. Yani, kuantum durumda olan bir parçacık, aynı anda birden fazla yerde bulunabilir. Bu durumu örneklemek için elektronları kullanalım.

Elektronlar, belirli bir yerde bulunma olasılığına sahip olmalarına rağmen, süperpozisyon halinde olabilirler. Yani, bir elektron aynı anda birden fazla yerde bulunabilir. Bu durumda, kuantum Hilbert Oteli'nde de her oda dolu olsa bile, elektron süperpozisyon halinde olabilir ve her odada bulunabilir. (Ama unutmayın bir insan aynı anda iki odada bulunamaz -en azından bildiğimiz kadarıyla-.) 

Ancak paradoksta ilginç bir ayrıntı ortaya çıkıyor. Elektronun sadece bir odada bulunması gerektiğini düşünelim. Örneğin, oda numarası 14'te bulunması isteniyor. Diğer odalarda hala dolu olan elektronlar olduğunda, tüm misafirlerin bir odada kayması ve bir sonraki odanın numarasını alması gerektiği klasik Hilbert Oteli senaryosu burada çelişir.

Bunu daha iyi hayal etmek için TED-Ed videosu ekliyorum.

 

Aşağıdaki grafikte ve resimde, Hilbert Oteli paradoksunun kuantum versiyonunu ve durumların çoğaltılmasıyla ilgili bir görsel anlatım sunmaktadır.

(a)'da gösterilen (başlangıçta sonsuz sayıda değere sahip olan) genlikleri (f)'de gösterildiği gibi orijinal değerlerinin iki katına yeniden eşleyerek yapılan Hilbert otelinin bir kuantum analoğunun teorik versiyonunu gerçekleştirmeye yönelik adımlar, potansiyeli iyi genişletip küçülterek.

Fizikçiler ayrıca yeniden eşlemenin durumların değerlerini sadece ikiye katlayarak değil, üçe, dörde vb. katlayarak da yapılabileceğini gösterdi. Lazer deneyinde bu prosedürler, durumların çarpıldığı sayıya karşılık gelen görünür ışık "yaprakları" üretir.

Enerji durumlarını bu şekilde yeniden eşleme becerisinin kuantum ve klasik bilgi işlemede de uygulamaları olabilir; örneğin, üretilen durumların sayısını artırmak veya bir kanalın bilgi kapasitesini artırmak için kullanılabilir.

 

Üst sıradaki ışık "yaprakları" (sonsuz sayıda otel odasını temsil eden sonsuz sayıda değere sahip kuantum durumları) 3 ile çarpıldığında, alt sıradaki yaprakların sayısı üç katına çıkar  "üçe katlanan sonsuzluk" a benzer.

Kısaca, Kuantum Hilbert Oteli paradoksu, sonsuz sayıda odası olan bir otelde süperpozisyon halinde olan elektronların yerleştirilmesiyle ortaya çıkan çelişkiyi vurgulayan bir düşünce deneyidir. Elektronun aynı anda birden fazla odada bulunabileceği ve diğer odalarda dolu olan elektronların yer değiştirmesi gerektiği, kuantum mekaniği ve matematik arasındaki tuhaflıkları gösterir.

*Süperpozisyon, kuantum mekaniğinde bir kuantum sisteminin birden fazla durumu aynı anda taşıyabilme yeteneğini ifade eder. Klasik fizikte, bir nesnenin özellikleri, belirli bir değere sahip olurken, kuantum dünyasında ise süperpozisyon sayesinde bir parçacık, aynı anda birden çok değere sahip olabilir. Örneğin, bir parçacığın yer veya momentum değeri süperpozisyon halinde olabilir, yani parçacık hem farklı konumlarda olabilir hem de farklı momentum değerlerine sahip olabilir. Süperpozisyon durumu, parçacığın ölçüm yapıldığında belirli bir değere düşmesine kadar devam eder. Bu kavram, kuantum mekaniğinin belirsizlik ilkesiyle de bağlantılıdır ve kuantum hesaplamaları ve kuantum teknolojilerinde önemli bir rol oynar.

 

Referanslar

• By Jan Beránek - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=81871954
• Rev. Lett. 115, 160505 (2015) - Quantum Hilbert Hotel (aps.org)
• Physicists experimentally realize a quantum Hilbert hotel
• Hilbert's paradox of the Grand Hotel - Wikipedia
• Sonsuz Otel Çelişkisi - Jeff Dekofsky - YouTube
• 00675.pdf (arxiv.org)