Bulunan En Büyük Asal Sayı

2013 yılında 17.425.170 basamaklı en büyük asal sayı keşfedilmişti. Kriptoloji alanında yaygınca kullanılan asal sayıların bu denli büyüğünün keşfedilmesi, güvenlik açısından bilgilerin çalınmasının büyük ölçüde önleneceği anlamına da geliyordu. 2016 yılının Ocak ayında Missouri Üniversitesi'nde görevli olan Dr. Curtis Cooper tarafından 22.338.618 basamaklı yeni en büyük asal sayının bulunması bilim dünyasında büyük yankı uyandırdı.

Öncelikle yazıma asal sayıların matematik, bilim ve bilgisayar dünyasındaki öneminden bahsederek başlayacağım. Daha sonra bulunan en büyük asal sayının doğrulunun nasıl teyit edildiğinden bahsedecek ve bu sayı ile ilgili diğer detayları vereceğim.

Şimdi asal sayıların önemi ile başlayalım. Asal sayılar aslında her yerde kullandığımız sayıların sonsuz özelleşmiş bir kümesi. Bunu Öklid’den beri biliyoruz. Sayı saymayı okumaya başlamadan önce hemen hepimiz öğrenmişizdir. Büyüyüp eğitim almaya başladıkça sayıları topladık, çarptık, üzerlerinde bol bol oynamalar yaptık. Artık onları kullanmada usta olduğumuzu zannederken karşımıza denklemler çıktı. Bilinmeyen sayılarla tanıştık, sonra onları bulmak için baya bir uğraştık. Bu konuda da kimsenin elimize su dökemeyeceğini düşünmeye başlamışken bir de baktık karşımıza sayı kümeleri çıktı. Tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar hatta karmaşık sayılarla tanıştık. Ama öyle ki bu kadar genel kümelerin içinde öyle özelleşmiş, öyle çok alanda yararlı olan sayılar var ki biz bunlara asal sayılar diyoruz. Bu sayılar öyle eşsizler ki aralarındaki ilişkiyi çözebilen bir  bilim adamı çıkmadı.

Sayılarımız şu şekilde başlıyor:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Eğer merak salar da cevabı bulmaya çalışırsanız, ilk teşvik benden olsun. Aralarındaki ilişkiyi bulan kişiye 1 milyon dolarlık bir ödül tahsis edilecekmiş. Merak edenler için referans olarak Riemann hipotezi alınabilir. Linkini referans kısmında bulabilirsiniz.

Artık biliyorsunuz ki asal sayılar eşsiz ve bunun aksi kanıtlanmadı. Peki, bu sayıların gündelik hayattaki önemi nedir? İnsanlar neden bu konu üzerine bu kadar kafa yormuşlardır? Mesleğim gereği, bu yazımda asal sayıların bilgisayar bilimi ile ilişkisini açıklayacağım. Asal sayılar yoğun olarak kriptoloji yani şifreleme bilimi üzerinde kullanılıyorlar. Gerek bankacılıkta, gerekse askeriyede çok önemli hatta hayati bilgilerin korunması gerekmektedir. Ülkeler arasında istihbaratın korunması ve ilişkilerin gerilmemesi için bilgilerin gizliliğinin korunması şarttır. Buna bir örnek olarak ülkeler arası siber savaşlar gösterilebilir. Birçok ülkenin istihbarat teşkilatı hackerları aracılığıyla başka ülkeleri dinleyip, izleyebiliyor, bilgileri çalıp, paylaşabiliyor hatta bu durum ülke içinde bile gerçekleşip iç savaşa kadar ülkeyi sürükleyebiliyor.

Bilgi güvenliğinde asal sayılar bazı şifreleme yöntemleriyle kullanılarak şifreleme güçlendirilmektedir. Bu şifreleme tekniklerinden biri RSA algoritmasıdır.

Algoritma şu şekilde tanımlanır:

• P ve Q gibi çok büyük iki asal sayı seçilir.

• Bu iki asal sayının çarpımı N = P.Q ve bu bir eksiklerinin çarpımı

φ(N)=(P-1)(Q-1) hesaplanır.

• 1’den büyük, φ(N)’den küçük, φ(N) ile aralarında asal bir E tamsayısı seçilir.

• Seçilen E tamsayısının mod φ(N)’de tersi alınır, sonuç D gibi bir tamsayıdır.

• E ve N tamsayıları genel anahtarı, D ve N tamsayıları ise özel anahtarı oluşturur.

Bu şekilde genel ve özel anahtarlar oluşturulur. Gönderilecek bilgi genel anahtar ile şifrelenir, özel anahtar ile de şifrelenmiş versiyonu açılabilir. Şifrelenmiş metin, bilginin sayısal değerinin E’inci kuvvetinin mod N’deki değeridir. Orijinal metin ise, şifrelenmiş metnin sayısal değerinin D’inci kuvvetinin mod N’deki değeridir.

Son olarak bulunan son asal sayının nasıl teyit edilebileceğinden bahsederek yazımı noktalayacağım. Bulunan en büyük asal sayı maalesef buraya yazamasam da linkini koyacağım 2^(74.207.281)-1’dir.Bu sayı anlaşılacağı üzere, 2’nin 74,207,281 kez kendisi ile çarpılmasından sonra 1 çıkarılmasıyla elde ediliyor. Sayının doğruluğunu Squirrels yazılım firması tespit etti. Herhangi bir bilgisayarla çok uzun zamanda halledilebilecek bir doğrulama Squirrels’in süper bilgisayarlarıyla sadece 2 gün gibi bir zamanda yapıldı. Bu süper bilgisayarlar 480.9 TFLOPS kapasiteli ve sadece 24kW enerji harcıyor. Bu rakamlara göre Squirrels’in süper bilgisayarları sıradan bir bilgisayardan 2400 kat daha hızlı.

Yukarıda da bahsettiğim gibi, asal sayılar matematik dünyası için de bilgisayar dünyası için de gerçekten büyük önem teşkil ediyor. Bakalım, kim bilir belki de yeni bir en büyük asal sayının ya da var olan asal sayılar arasındaki ilişkinin bulunması yakındır.

Kaynaklar
https://tr.wikipedia.org/wiki/Riemann_hipotezi
http://www.matematikciler.org/matematiksel-guzellikler/asal-sayilar/296-asal-sayilar-ve-sifreleme-kriptoloji-.html
http://www.math.utah.edu/~pa/math/largeprime.html